應變式稱重傳感器的設(shè)計與計算
此篇文章的形成是基于對稱重傳感器設(shè)計者能有所幫助。它深入分析推導出一些公式，這些公式能夠計算出位于稱重傳感器上的某些尺寸大小，并提供所需要的輸出。此篇文章還介紹了各種誤差來源及設(shè)計建議。
圖1是一個不含溫度補償電阻的稱重傳感器電路簡圖。四個電阻應變計呈現(xiàn)在惠斯通電橋的橋臂上。請注意，應變方向相同的兩個電阻應變計安裝在電橋的相對橋臂上，以保證電橋靈敏度最大。例如，電阻應變計1和3受拉伸應力，2和4受壓縮應力，那么這種安裝的結(jié)果是當稱重傳感器承載后，增加了電橋從B點到C點的最終電壓輸出。相反，當稱重傳感器由于溫度影響而改變它的電阻時，由于增加或減少相同的量，電橋的最終輸出不會變化。這種電橋的構(gòu)造由于溫度產(chǎn)生單一的最小輸出值，而使稱重傳感器產(chǎn)生最大輸出值。
如圖1所示，電橋輸出E0與輸入Ei之比為：
式中：Gf—應變計系數(shù)，由應變計制造商提供的非尺寸大小因素。
et—電橋上應變計的全部有效應變產(chǎn)生的總的應變輸出。
變化公式（1），得到總應變：
通過這兩個公式，便可以計算稱重傳感器的輸出靈敏度E0/Ei，如果給出了電橋各橋臂的應變值，就可以計算出總的應變值et。如果給出了所需要的電橋輸出值，要想確定電橋的總應變值et，我們必須知道每個橋臂的應變值：
式中：e1—應變計1的單軸應變值（通常是稱重傳感器上最大最主要的應變）。
e2、e3和e4—應變計2、3和4上的單軸應變值。
上述公式et中的加號和減號是由其在電橋上的位置而決定的。如果應變計1和3處于拉伸應力，使得電阻增加（或者相對于C、B處得到一個正的輸出），應變計2和4處于壓縮應力，使得電阻減小（或者是得到一個負的輸出），則公式為：
最后，由于電橋的位置，應變計電阻的變化et的公式如下：
在全部稱重傳感器設(shè)計中，應變計1、2、3和4上的應變值存在著一個固定的關(guān)系N（電橋應變放大系數(shù)），則上式可以寫為：
和
用公式（1）代替et，結(jié)果是：
公式（2）變化為：
有三種應力被應用于稱重傳感器的設(shè)計中，即拉伸與壓縮應力，彎曲應力和剪切應力。
利用拉伸與壓縮應力的稱重傳感器
利用拉伸應力與壓縮應力的多為商業(yè)稱重傳感器，它是利用單一載荷產(chǎn)生的應力，代替被稱物體產(chǎn)生的應力。由于有較小的縱剖面設(shè)計，能為所給的受力狀態(tài)提供較大的輸出。
在航空工業(yè)中，通常用圓柱形彈性體作稱重傳感器（處于拉伸應力或壓縮應力的圓柱）是比較方便的。最好是將圓柱的兩端固定或設(shè)計成雙球面，若是作不到這一點，就把應變計粘貼在附加彎矩最小區(qū)域，那里的橫截面存在有規(guī)律的變化，并產(chǎn)生最小的彎曲應力。
圖2是圓柱式稱重傳感器的一個例子，有關(guān)計算圓柱應力S的傳統(tǒng)公式如下：
式中：P—軸向載荷。
A—圓柱橫截面面積（圖2的A-A部分）。
S—拉伸或壓縮應力。
既然這是一個單軸向載荷的圓柱，就可應用虎克定律，其應力、應變可用如下公式計算：
式中：Em—彈性模量。
e1—1號應變計的軸向應變值。
圓柱式稱重傳感器電橋的輸出應由公式（5）計算。
既然圓柱的尺寸大小是固定的，正如下面例子所給出的：假設(shè)一個額定載荷為P=2500Ib（磅）的鋼制彈性體，彈性模量Em=10.6×106psi（磅/英寸2），圓筒的外徑為2.0英寸，內(nèi)徑為1.75英寸。通過計算其橫截面面積為A=0.736英寸2。
為通過公式（3）和（4）確定N，e1=e3，e2=e4=μe1，式中μ為泊松比。代入公式（3）和（4），其結(jié)果為：
由于鋼的μ值為0.32，所以N=2.64。
利用公式（7）計算應力，即
通過公式（8）確定應變計1的應變值，即
通常寫為e1=320microinches/inch（微英寸/英寸）。
如果應變計靈敏系數(shù)（由制造商提供）為2.0，代入公式（5）中，計算結(jié)果如下：
這說明如果給電橋施加Ei=10V激勵電壓，一個2500磅的載荷施加在稱重傳感器上時，輸出的變化應為E0=4.22mv。一個典型的商用稱重傳感器的額定輸出為從2.00到3.00mv/v或從20到30mv（施加10v激勵電壓時），所以0.422mv/v是一個較低的輸出。
若要增大這個例子中圓筒式稱重傳感器的輸出，我們可以作很多工作。
（A）為求所需要的橫截面面積A，假定計算靈敏度為2.0mv/v，就必須選擇能形成這一面積的外徑?？稍趫A柱彈性體表面粘貼應變計并使其受載進行驗證，直到得出滿足要求的直徑為止。如果這種方法不行，可以試驗下一個方法。
（B）電橋輸出電壓E0與輸入電壓Ei成正比，輸入電壓受材料，電橋電阻，應變計尺寸等限制（見參考文獻[3]）。假定施加在電橋上的最大推薦電壓為10V，要想應用更高的電壓，可通過加大電橋電阻的方法，即采用更大電阻的應變計。圖2展示的4個應變計，其中兩個應變計在0°位置上（或粘貼一個90°的應變花），另兩個應變計在180°位置上（或粘貼第2個應變花）。應用8個應變計的電橋，在圓柱表面沿0°，90°，180°和270°粘貼90°的應變花，電橋各臂電阻會增大一倍。這時輸入電壓可增大，但是由于推薦應用于電橋的電壓與電阻的平方根成比例，所以這只能增加輸出值的1.41倍。另外，如果應變計的柵長和柵寬分別由1/8英寸增大到1/4英寸時，應變計的面積便增加了4倍，而輸出增加一倍?，F(xiàn)在總輸出增加了（1.41×2）或2.82倍，電橋電壓會增加到28.2V，輸出由11.9mv取代了4.22mv。
柱式稱重傳感器的誤差來源
一個泊松電橋（兩個應變計測量主應變，另兩個應變計測量由于泊松比影響而產(chǎn)生的應變）是固有的非線性電橋。對于一個靈敏度為2.0mv/v的稱重傳感器，這種固有的非線性大約為0.10%。電橋的非線性可以被另一個非線性部分所抵消一些。引起另一個非線性的原因是由于泊松比使得柱式彈性體橫截面面積增加或減少。例如，當稱重傳感器承受壓向載荷時，橫截面面積增加，使壓縮應力減?。划敵惺芾蜉d荷時，就是相反的情況。對于一個靈敏度為2.0mv/v的稱重傳感器，由于截面積變化引起的非線性誤差大約為0.05%，所以總的非性誤差為0.10%～0.05%或者0.05%。這是非常小的通常可以忽略不計，但是在稱重傳感器檢測數(shù)椐中，這是應該被檢測的誤差。精密的商用稱重傳感器應利用附加的半導體應變計，此半導體應變計被粘貼在彈性體上，并串聯(lián)在電橋電路的供橋端來補償非線性。
注意圖2圓柱式彈性體上應變計的安排，全部應變計被粘貼在同一個平面上，例如縱向應變計1和3為0°和180°，橫向應變計2和4為90°和270°，且所有應變計的中心線處于一個橫截面的水平線上。圓柱上的應變計如圖2安排，有兩個原因：
（A）彎曲應力是誤差的來源之一，必須使之最小化。理論上，當應變計如圖1和2粘貼連線時（如測量拉伸與壓縮應力），彎曲應力被消除。因為并不存在準確完美的貼片，建議采取其它方法使得彎曲應力產(chǎn)生的誤差盡可能接近于零。在圓柱上彎曲力矩的方向通常是可以確定的，應變計應粘貼在圓柱彎曲力矩最小處，且在中軸線上（見圖2），那里的彎曲應力理論上為零。
（B）如果圓柱大且應變計在同一個平面間隔90°粘貼，圓柱周圍的任何溫度變化都會導致信號漂移。所以電橋相鄰兩臂的應變計應盡量靠近粘貼，從而減少溫度誤差，這也是利用90°應變花的原因之一。
彎曲型稱重傳感器
設(shè)計過程與柱式結(jié)構(gòu)有所不同，概述如下：
（A）由公式（3）和（4）確定有效應變N，通常是用公式（4）。
（B）為提供所需要的輸出，由公式（6）確定要求的應變。
（C）通過公式（9），由應變算應力。
（D）根據(jù)載荷與尺寸大小建立應力公式。
（E）為計算所需尺寸大小，用（C）中計算出的應力替代（D）中產(chǎn)生的應力。
這是為滿足所需要的輸出，求得稱重傳感器尺寸大小的最普通方法。另一方面，如果已給出了尺寸大小，而輸出E0/Ei是所要求得的，那么應依照前面所介紹的圓柱式稱重傳感器計算過程，應用公式（3）和（4），之后是公式（7）和（8），最后是公式（5）得到輸出靈敏度E0/Ei。
圖3 在載荷P作用下標準的雙梁彎曲型稱重傳感器
圖3是在載荷P作用下一個典型的雙梁彎曲型稱重傳感器簡圖，為了看得清晰，去掉了外殼并加大了偏轉(zhuǎn)度。這種商用稱重傳感器用于測量較低的載荷，應變計粘貼位置如圖3所示。圖1所示的電橋電路仍然有效。
圖4 半根彎曲梁顯示的2片應變計位置圖
圖4是一個自由體的簡圖，粘貼有2個應變計的半根應變梁。通常梁的大多數(shù)尺寸是固定的，厚度h根據(jù)所需要的輸出進行計算。例如假定所需要的輸出靈敏度E0/Ei是3.0mv/v，首先計算出有效應變值，既然所有的應變計產(chǎn)生相等的應變，由公式（3）和（4）得出N=4。制造商提供的應變計靈敏系數(shù)為2.1，接下來為提供所需要的輸出，需要求出的應變e1可以通過公式（6）求得，即
又可寫為：
彈性體材料為17—4PH不銹鋼，Em=29.1×106磅/英寸2。彎曲應力Sb由公式（6）計算出應變e1，代入公式（9）得出，即
Sb=e1Em=1429×10-6×29.1×106=41.580磅/英寸2。
在彎曲梁中求彎曲應力的傳統(tǒng)公式如下：
式中：M—應變計2在中心線上的彎矩。
C—從中性軸到梁表面的距離。
J—應變計所在截面的慣性矩。
圖5 彎曲梁上應變計到表面距離引起的誤差
圖4和圖5給出p=P/2，C=h/2，l=L/2，M=pl，對于矩形截面J=bh3/12，把這些值代入Sb=Mc/J中，得出Sb=6pl/bh2，h的計算公式為：
現(xiàn)以用數(shù)值表示的實例進行說明，假設(shè)截面尺寸與載荷如下：
L—應變計中心線之間的距離，L=1.00英寸，l=L/2=0.50英寸。
P—滿量程載荷，P=100磅，p=P/2=50磅。
b—梁的寬度，b=0.625英寸。
代入公式（10）得出的結(jié)果是：
彎曲型稱重傳感器的誤差來源
彎曲型稱重傳感器的誤差來源，其一是由于粘貼在梁上的應變計，所用的應變粘結(jié)劑和防護涂料增加了非常薄的應變梁的剛度。因為應變計、應變粘結(jié)劑和防護涂料不會完全具有彈性，這一附加剛度就會引起滯后和非線性誤差。根據(jù)估算如果鋼制彈性應變梁貼片處的厚度小于0.017英寸（0.43mm），鋁制彈性應變梁的厚度小于0.030英寸（0.76mm），就會出現(xiàn)小的誤差。其二如果不考慮被粘貼的應變計與表面的那段距離（見圖5中的d），那么當你計算非常薄的梁的厚度時就會出現(xiàn)誤差。因為應變計的應變值與其到中性軸的距離成正比，所以梁的表面應變es比應變計的應變e2小一些。為闡明這點，我們假定上面梁的厚度h為0.018英寸，為了求出所需要的輸出，仍需假定應變計的應變?yōu)?429微英寸/英寸，則重新計算的表面應變?yōu)椋?BR>
式中：C=h/2=0.018/2=0.009英寸。
d≈0.0015英寸。
被利用的新的應變?yōu)椋?BR>
為提供所需要的輸出計算應變的誤差，應該比這個例子大約高出17%，這只是計算梁厚度的一個估計的誤差，并不是一個操作性的誤差。
剪切型稱重傳感器
當載荷超過了彎曲型稱重傳感器的要求時，應設(shè)計成剪切型結(jié)構(gòu)，但是，當載荷超過200000磅（90718kg）時，建議采用柱式結(jié)構(gòu)。
剪切應變是一個角應變，不能像軸向應變那樣進行測量，只能間接測量。莫爾圓有關(guān)純剪切應力情況及應變計粘貼簡圖如圖6所示。
圖6 莫爾圓及應變計分布簡圖
莫爾圓表明切應力的最大值與處于拉伸狀態(tài)的主應力的最大值是相等的，并且與梁的中性軸成45°方向。應變計是測量主應力產(chǎn)生的應變，因此應變計也同樣應與中性軸成45°，如圖6所示。此圖同樣表明一個沒有載荷作用的平面部分正方形單元，當有載荷作用時正方形會變成菱形，使得一個應變計處于拉伸狀態(tài)，而另一個應變計處于壓縮狀態(tài)。請注意應力是雙軸的，其處于拉伸狀態(tài)的主應力的軸向應變值不但與St成正比，而且隨泊松比μSc而增加：
式中：e1—應變計1的測量應變。
—單軸向范圍內(nèi)的基準應變，
=S/Em。
μ—泊松比。
電橋各橋臂上的應變計承受同樣的應變值，所以利用電橋總應變公式，可寫為：
因為
所以 N=4（1+μ）
泊斯特（Purest）會議有學者認為這是不符合規(guī)則的，因為e1｀并沒有真實的存在，但是它確實提供了正確的答案，并在N值計算中有它是很方便的。用于計算所要求的可以提供所需輸出的應變算公式（6）可變?yōu)椋?BR>
計算出所要求的單軸應變e1｀后，應力通過公式（9）獲得，即
能否準確計算出稱重傳感器上的應力，因切應力的種類和彈性體的結(jié)構(gòu)不同而產(chǎn)生很大的差異。例如，一個承受純剪切應力狀態(tài)的扭轉(zhuǎn)軸，其切應力計算可由下面典型的公式得出：
式中：Ss—切應力（與主應力的最大值相等）。
T—軸上的扭矩。
r—軸的半徑。
J—橫截面極慣性矩。
另一方面，直接利用剪切載荷準確的確定稱重傳感器上的切應力是極為困難的。對于剪切型軸銷式稱重傳感器更是如此，下面列舉了一些不夠精確的原因：
（A）應變計是通過其柵長測量的是應變區(qū)的平均應變。如果在應變區(qū)內(nèi)切應力的變化曲線非常陡，且應變計尺寸非常大，所測量的應變值就會比峰值小。
（B）最大切應力只用了直接作用于其上的最大剪切載荷的一部分。公式假設(shè)剪切載荷在一個已知的面積內(nèi)，從底部到頂部較均勻分布，且切應力最大值均勻分布在中性軸上。
（C）稱重傳感器上的載荷分布還應與安裝接頭的影響相吻合，如剪切型軸銷式稱重傳感器，其載荷分布取決于軸銷與安裝接頭兩者之間的公差，所受載荷由于安裝間隙不同而異。
我們將討論三種切應力稱重傳感器。準確計算為保證所需輸出的彈性體尺寸，與以前所用的程序完全一樣。首先進行粗略計算，最后給出準確結(jié)果。切應力稱重傳感器尺寸大小的計算準確率，不如圓柱、彎曲和扭轉(zhuǎn)型稱重傳感器。
工字形截面切應力稱重傳感器
最普通的用于計算切應力的公式為：
式中：Sa—平均切應力。
V—剪切載荷。
A—受剪部分的截面積。
這個公式可以用來計算破壞載荷，但不能給出彈性體粘貼應變計處中性軸上切應力的最大值。對于切應力的最大值的計算公式，應隨著受剪截面的形狀不同而變化。
圖7 S形剪切式稱重傳感器
圖7是另一個S形稱重傳感器簡圖，除了利用剪切應力代替彎曲應力外，其它均無變化。圖中A-A截面對于兩個軸都是對稱的，從側(cè)面角度看呈現(xiàn)兩倍的尺寸關(guān)系。應變計粘貼在工字形截面的腹板上，其截面尺寸為b、c、d、f和t。根據(jù)上述給定的尺寸，按計算程序計算出腹板的厚度t。
下列中性軸切應力Ss最大值計算公式，引自參考文獻[1]第91頁公式（2），即
式中：V—剪力。
t—腹板厚度。
A′—中性軸以上橫截面面積。
Z′—從中性軸到面積A′形心的距離。
A′Z′=A1Z1+A2Z2
A1Z1—中性軸以上翼緣面積乘以中性軸到翼緣形心的距離，依照圖7，A1Z1＝fb（d+f/2）。
A2Z2—中性軸以上腹板的面積乘以中性軸到腹板形心的距離，A2Z2＝td×（d／2）。
J—中性軸以上截面的慣性矩
例如圖7中的稱重傳感器，假設(shè)所需的輸出是3.0mv/v，彈性體由17—4PH不銹鋼制成，Em=29.1×106磅/英寸2，μ=0.29，利用公式（6）、（9）及N=4（1+μ），求得應力為33800磅/英寸2，其中E0/Ei=3.0mv/m，Gf=2.0，假設(shè)所給的載荷及尺寸如下：
P=V=15000磅，d=0.80英寸，f=0.20英寸，c=1.00英寸，b=1.50英寸。把這些數(shù)值代入公式（14），即可得到一個有關(guān)t的二次方程式，解此方程求得t=0.273英寸。
為確定強度，還需要其它尺寸大小，例如確定承受載荷螺紋的允許直徑，符合螺紋外徑要求的寬度b一定要足夠大等。圖中A-A部分的箭頭指向是高彎曲應力與拉伸應力合二為一的結(jié)合面，必須具有足夠大的強度才能安全的承受載荷。粘貼有應變計的腹板兩側(cè)的盲孔部分可以是方形、矩形，也可以是圓形使得加工簡單。據(jù)估計稱重傳感器任意部分的應力都比應變計處的應力小。
工字形截面切應力稱重傳感器的誤差來源
依照慣例，當計算工字梁的應力時，假設(shè)腹板承受所有載荷。如果我們采用這種方法，那么將利用平均應力Sα=V/A的計算公式來確定腹板的厚度。采用上面的例子，承受載荷的腹板截面面積是A=2ct，又因為A=V/Sα，則腹板厚度t計算如下：
此值比通過公式（14）得出的t值小18%，盡管公式（14）略顯繁瑣，但對于不同的截面形狀，它的計算是比較準確的。
輪輻式稱重傳感器
圖8是一個輪輻式稱重傳感器簡圖，這種設(shè)計是為了生產(chǎn)高準確度的稱重傳感器。
圖8 輪輻式稱重傳感器
粘貼應變計的輪輻是一個矩形截面梁，通常高度h比寬度b長一些。把公式（14）應用于矩形截面見參考文獻[1]第92頁公式（3），得出切應力計算公式如下：
式中：V—剪力，V=P/4。
a—形狀系數(shù)。
A—矩形截面的面積，A=bh。
輪輻式稱重傳感器的誤差來源
參考文獻[1]指出，對于矩形截面其形狀系數(shù)a=3/2，但是如前所述最終的輸出是幾個因素共同作用形成的。比較截面的高度，及截面的寬度與高度比，我的經(jīng)驗是a隨著應變計的尺寸變化而變化?，F(xiàn)舉例說明，一個200000磅的稱重傳感器，截面高度h為2.386英寸，寬度b為1.172英寸。這么大的高度解決了通過應變計基長測量平均應變的問題，因為應變計基長只有1/8英寸。形狀系數(shù)a為1.25，并不是參考文獻[1]中所述的1.50，表1給出了a的數(shù)值。
建議設(shè)計者形狀系數(shù)最好選取1.25，組裝一臺稱重傳感器樣件，校準所需要的截面面積。一旦在樣件上建立了準確的計算模型，調(diào)整截面的寬度，就可以求得所需要的輸出值，然后再組裝一臺稱重傳感器樣件，并進行校核以確定最終輸出。
圖8給出了8片應變計的情況，應變計1A和1B串聯(lián)，作為圖1中的應變計1；應變計2A和2B串聯(lián)作為圖1中的應變計2，如此等等，這種聯(lián)結(jié)組橋方式提供了最精確的稱重傳感器。但是采用4片應變計的稱重傳感器價格會低一些，只是準確度為中等水平。4片應變計可粘貼在圖8中1A、1B、3A和3B的位置上。購買的應變計應具有與中性軸成45°或135°的敏感柵，選擇一個具有適當方向敏感柵的應變計是非常重要的。參考圖6確定應變計的粘貼位置，使2片應變計處于拉伸狀態(tài)，而另外2片應變計處于壓縮狀態(tài)。
較大量程的輪輻式稱重傳感器，例如容量超過200000磅（90718kg）時，會出現(xiàn)較大的滯后誤差。這已形成了理論，即滯后誤差是在泊松比作用下，在輪輻受載過程中輪箍底部產(chǎn)生向外移動的力，從而形成力矩。由于存在摩擦力，輪箍移出時的力矩與移回時的力矩是不同的，因而產(chǎn)生滯后。處于壓縮狀態(tài)的大型柱式稱重傳感器不會出現(xiàn)滯后現(xiàn)象，所以，既然大多數(shù)用戶都希望輪輻式稱重傳感器的設(shè)計會提供精確的結(jié)果，那么輪輻式稱重傳感器的最大容量最好限定為200000磅之內(nèi)。
軸銷剪切式稱重傳感器
圖9是在一個吊環(huán)內(nèi)裝有軸銷剪切式稱重傳感器的簡圖，這個組合表明切應力稱重傳感器應用的多樣性和廣泛性。本文展示的這臺軸銷剪切式稱重傳感器取自生產(chǎn)廠家的產(chǎn)品目錄，見參考文獻[4]。
1．承載卷筒，2. 掛鉤或吊鏈，3. U形吊環(huán)，
4. 剪切軸銷，5. 凹陷部分連線插頭
圖9 軸銷剪切式稱重傳感器
應變計粘貼在軸銷上的直徑d為1/8英寸到1/2英寸的圓孔內(nèi)，并處于有凹槽的位置上。應變計的粘貼位置必須準確，這項工作應該由一名熟練的機械師利用特殊的工具完成。
參考文獻[5]詳盡的討論了軸銷剪切式稱重傳感器，如果對制造類似的稱重傳感器有興趣，建議讀者重新讀一下那篇文章。計算軸銷上切應力的公式選自參考文獻[1]，在參考文獻[5]中也給出了計算公式。此作者的研究展示了初始原型的真實應力，它與計算公式有著非常大的差異。例如需要為所計算的彈性體提供1.0mv/v的輸出時，那么直徑小的軸銷切應力大約是11500磅/英寸2，而要求彈性體提供相同的輸出時，直徑大的軸銷切應力卻是7500磅/英寸2。稱重傳感器的輸出受很多因素影響，比如說穿過中心孔的直徑d，凹槽的直徑D，軸銷與支撐之間的間隙，支撐的硬度，應變計的尺寸等?？梢员焕糜嬎爿S銷剪切式稱重傳感器輸出的最好公式是（15）式，其中形狀系數(shù)a在1.5到2.0之間變化。
表1列舉了經(jīng)試驗得出的a的一些數(shù)值，凹槽直徑D從1.0到3.0之間變化，軸銷是鋼制的，稱重傳感器的輸出靈敏度為2.0mv/v，而中間孔的直徑d為0.50英寸。
軸銷剪切式稱重傳感器的誤差來源及設(shè)計建議
參考文獻[5]指出“當幾何形狀沒有問題時，傳統(tǒng)的稱重傳感器要優(yōu)于軸銷剪切式稱重傳感器”。軸銷剪切式稱重傳感器在具體應用中，有很多誤差來源，歸納起來主要有：
（A）為了具有最好的重復性和最小的滯后誤差，軸銷剪切式稱重傳感器的輸出靈敏度應設(shè)計為1.00mv/v，所以當軸銷受載時，不會因橢圓變形在軸銷中引起較大的彎曲應力，這就增加了安全載荷和疲勞壽命。
（B）軸銷的凹槽必須是應變計敏感柵寬度的2倍。但是，如果凹槽過寬，當軸銷受載時就會產(chǎn)生較大的彎曲應力而引起誤差，同時也降低了安全載荷。參考文獻[5]提供了有關(guān)凹槽寬度的設(shè)計建議。
（C）軸銷與支撐之間的間隙應盡量小一些，以減少彎曲變形。當軸銷的直徑為1.0英寸時，最大間隙為0.004英寸；當直徑為4.0英寸時，最大間隙為0.007英寸。如圖9中吊環(huán)式稱重傳感器的情況，要求吊環(huán)為軸銷提供緊密的配合。
（D）支撐應具有足夠的剛度來抵抗彎曲變形，越剛硬越好。測試與校準軸銷時，應該與實際安裝使用時是同一個支撐。
（E）在使用壽命內(nèi)，如果軸銷需要承受沖擊載荷或許多循環(huán)載荷時，凹槽就需要有足夠大的半徑。另外，如果軸銷要在很冷的天氣（0°以下）工作并承受沖擊載荷時，就不要選用較脆的鋼種如17-4PH來制造軸銷。
（F）與輪輻式稱重傳感器相似，大型軸銷剪切式稱重傳感器（200000磅或更高）會出現(xiàn)滯后誤差。一個二百萬磅的軸銷剪切式稱重傳感器的滯后誤差大約是1.0%到3.0%，為了減?。ú⒉皇窍┻@一誤差，所有大型切應力稱重傳感器都應該將輸出靈敏度限制在1.00mv/v之內(nèi)。
（G）如果公式（15）被應用于實心軸銷剪切式稱重傳感器時，形狀系數(shù)a是一個常數(shù)4/3或是1.33，這個公式假設(shè)最大切應力均勻分布在軸銷的中性軸上。
（H）由四只稱重傳感器組裝的承載器，每個稱重傳感器必須具有相同的輸出靈敏度。如果一只稱重傳感器的輸出靈敏度是3.0mv/v其它幾只的輸出靈敏度也應該是3.0mv/v。如果不具備這一特點，任何一個偏于承載器的載荷都會得到不同的測量結(jié)果。一個軸銷就是一臺電子衡器，由兩個稱重傳感器并聯(lián)組成（每個槽內(nèi)有一只稱重傳感器），如果輸出靈敏度不同，測量結(jié)果就會隨著偏心載荷的不同而變化。圖8中的中心通孔就是用來把外載荷集中于稱重傳感器中心而設(shè)計的。
結(jié)語
本篇論文是基于對稱重傳感器設(shè)計者能有所幫助而寫的，它提供了一些公式，這些公式可用于計算稱重傳感器上的某個尺寸的大小，并提供所需要的其它計算結(jié)果。它同樣介紹了用于計算圓柱式結(jié)構(gòu)稱重傳感器輸出的公式（通常被用于航空工業(yè)）。
本篇論文全面介紹了稱重傳感器的誤差來源和設(shè)計建議。但是應該強調(diào)的是影響稱重傳感器第一個樣件輸出的尺寸計算誤差，應該在生產(chǎn)第二個樣件前對這一尺寸進行更正。
本篇論文中的電橋電路（圖1）并沒有串入溫度補償電阻。例如應變計的靈敏系數(shù)、絕大多數(shù)材料的彈性模量都隨著溫度的變化而變化，所以稱重傳感器的輸出靈敏度也隨著變化，這個誤差在商用稱重傳感器中通常是被補償?shù)?。在商用稱重傳感器中電橋串聯(lián)了溫度補償電阻，當溫度變化時，補償電阻會進行補償。如果稱重傳感器串入了靈敏度溫度補償電阻，對于一個給定的輸入電壓，輸出一定是一個符合要求的標準值。考慮到補償電阻將減少輸出值，所以設(shè)計的電橋輸出值一定要比標準值高。表2是本篇論文所介紹公式的總結(jié)。
注釋1、在全部公式中假設(shè)應力是單向的并且符合虎克定律，或者是應用公式將應力轉(zhuǎn)換為應變或是相反將應變轉(zhuǎn)換為應力，即S=eEm或e=S/Em。
注釋2、為了得到需要求得的尺寸重新整理了公式。
注釋3、用在公式（5）中代入N的方法求得輸出值。
參考文獻
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Design and Construction, P.O.Box 27777, Raleigh, North Carolina,27611,（919）365-3800,1988.
（b）T-Design （Computer Software ），B.L.H.Electronics, 75Shawmut Rd. Canton, MA02021，（617） 821-2000.［（a）測量技術(shù)人員集團公司，應變式傳感器的結(jié)構(gòu)與計算。（b）Ｔ－程序（計算機軟件）。］
〔3〕Measurements Group Technical Note TN-502，Optimizing Strain Gage Excitation Levels（計量集團技術(shù)注釋TN-502，選擇最佳應變值。）
〔4〕Metrox，Inc，Load Pins，Drawing no. LP102-0000，1991 catalog.（梅特羅伊公司，軸銷式稱重，1991年目錄第LP102-0000號圖。）
〔5〕Yorgiadis，Alexander，The Shear Pin Force Transducer，Instruments and Control Magazine，October 1986.（約吉艾迪斯，亞歷山大，軸銷剪切式力傳感器，儀器與控制雜志，1986年10月）。
粘貼式電阻應變計廣泛應用于當今高精度測力與稱重傳感器的制造中。本篇文章為幫助稱重傳感器設(shè)計者計算出稱重傳感器尺寸大小，從而為獲得唯一需要的輸出作了充分的準備。設(shè)計者既可以運用有限元分析法經(jīng)計算機程序（如果可能）來確定稱重傳感器所需要的尺寸，或運用本文所提供的公式來計算此尺寸。應力公式選自一部非常好的書——應力與應變公式（見參考文獻[1]）。除了公式匯編，本文還討論了誤差的可能來源及設(shè)計建議，有關(guān)誤差來源的信息主要是基于作者的經(jīng)驗。文中所描述的相關(guān)稱重傳感器沒有作專利調(diào)查，在考慮把所討論的設(shè)計用于產(chǎn)品的生產(chǎn)或推向市場前，有必要作一下調(diào)查。
通過某些假設(shè)得出的這些計算公式，另外還有電阻應變計的特性、應力形式、材料特征以及機械加工的偏差都會導致計算結(jié)果的一定誤差。在批量制造稱重傳感器前，應制造幾個樣機進行組裝、測試和標定。
在某些工業(yè)中，如航天工業(yè)也許只需要一次性的稱重傳感器，為決定其非線性、重復性和滯后等誤差，在使用前對其進行標定是十分重要的。當計算機被應用于數(shù)據(jù)處理時，非線性、零點漂移及靈敏度變化，是很容易修正的。如果稱重傳感器在使用時要經(jīng)歷強烈的溫度變化和外部附加載荷的影響，我們應進行試驗并測量出這些影響量所造成的誤差。如果某部分結(jié)構(gòu)（如接頭、銷子、壓桿）用來測量或是被用作稱重傳感器時，標定和測試就尤為重要了。
稱重傳感器設(shè)計包括許多方面，這里對其制造生產(chǎn)不予討論，例如，需要對電阻應變計安裝技術(shù)知識的全面了解，一些電阻應變計制造商提供技術(shù)資料的同時，還應提供電阻應變計安裝的分類等。
有關(guān)稱重傳感器設(shè)計的附加內(nèi)容見參考文獻[2]（a）和[2]（b）。這份小冊子及計算機程序比較完整，可以從制造商那里獲得。
在過去十年中，計算機技術(shù)的發(fā)展改變了稱重傳感器的設(shè)計、制造與記錄方式，例如在電阻應變計被安裝后，所有的稱重傳感器都有一個原始的不平衡（當沒有載荷作用時，也有輸出信號存在）。通常零點調(diào)整電阻被應用于商業(yè)稱重傳感器，以便消除這種不平衡。運用計算機程序，零點不平衡數(shù)據(jù)很容易被除掉。除了零點調(diào)整電阻外，在精密的商業(yè)稱重傳感器中安裝了許多電阻，便于補償諸如零點和靈敏度溫度影響。如果在記錄數(shù)據(jù)的同時，稱重傳感器的溫度也進行了測量，并且當這個稱重傳感器被標定時，溫度造成的誤差已被測定，那么就應該運用計算機程序修正最終數(shù)據(jù)。商業(yè)稱重傳感器制造商不為計算機提供用于修正原始不平衡或溫度影響的數(shù)據(jù)，因為他們不想局限市場。商業(yè)稱重傳感器不安裝零點平衡及溫度補償電阻會節(jié)省大量資金，尤其是需求量很大時效果更明顯。
符號定義
a—結(jié)構(gòu)系數(shù)。
A—橫截面面積。
A′—中性軸上橫截面面積。
A1—中性軸上翼緣面積。
A2—中性軸上腹板面積。
b—應變梁翼緣或矩形截面的寬度。
c—從中性軸到應變梁或翼緣上表面的距離。
d—從中性軸到翼緣下表面的距離。
e—拉伸或壓縮應變。
—應變計1、2、3、4的應變值。
—應變計1應變的絕對值。
es—應變梁表面應變。
et—電橋的總有效應變。
Ei—電橋的激勵電壓。
E0—電橋的輸出電壓。
Em—彈性模量。
f—翼緣厚度。
Gf—應變計靈敏系數(shù)。
h—應變梁厚度。
J—橫截面的慣性矩。
l—從應變梁中心到應變計中心線的距離。
L—應變梁上兩個應變計中心線之間的距離。
μ—泊松比。
M—應變計中心的彎矩。
N—電橋應變放大系數(shù)。
p—分載荷。
P—主載荷。
r—圓柱式彈性體半徑。
S—拉伸或壓縮應力。
Sa—平均應力。
Sb—彎曲應力。
Ss—剪切應力。
t—中性軸處腹板的厚度。
T—軸的扭矩。
V—剪力。
Z′—從中性軸到A'質(zhì)心的距離。
Z1—從中性軸到翼緣質(zhì)心的距離。
Z2——從中性軸到腹板質(zhì)心的距離。
稱重傳感器的輸出計算
圖1 稱重傳感器電路簡圖
圖1是一個不含溫度補償電阻的稱重傳感器電路簡圖。四個電阻應變計呈現(xiàn)在惠斯通電橋的橋臂上。請注意，應變方向相同的兩個電阻應變計安裝在電橋的相對橋臂上，以保證電橋靈敏度最大。例如，電阻應變計1和3受拉伸應力，2和4受壓縮應力，那么這種安裝的結(jié)果是當稱重傳感器承載后，增加了電橋從B點到C點的最終電壓輸出。相反，當稱重傳感器由于溫度影響而改變它的電阻時，由于增加或減少相同的量，電橋的最終輸出不會變化。這種電橋的構(gòu)造由于溫度產(chǎn)生單一的最小輸出值，而使稱重傳感器產(chǎn)生最大輸出值。
如圖1所示，電橋輸出E0與輸入Ei之比為：
式中：Gf—應變計系數(shù)，由應變計制造商提供的非尺寸大小因素。
et—電橋上應變計的全部有效應變產(chǎn)生的總的應變輸出。
變化公式（1），得到總應變：
通過這兩個公式，便可以計算稱重傳感器的輸出靈敏度E0/Ei，如果給出了電橋各橋臂的應變值，就可以計算出總的應變值et。如果給出了所需要的電橋輸出值，要想確定電橋的總應變值et，我們必須知道每個橋臂的應變值：
式中：e1—應變計1的單軸應變值（通常是稱重傳感器上最大最主要的應變）。
e2、e3和e4—應變計2、3和4上的單軸應變值。
上述公式et中的加號和減號是由其在電橋上的位置而決定的。如果應變計1和3處于拉伸應力，使得電阻增加（或者相對于C、B處得到一個正的輸出），應變計2和4處于壓縮應力，使得電阻減小（或者是得到一個負的輸出），則公式為：
最后，由于電橋的位置，應變計電阻的變化et的公式如下：
在全部稱重傳感器設(shè)計中，應變計1、2、3和4上的應變值存在著一個固定的關(guān)系N（電橋應變放大系數(shù)），則上式可以寫為：
和
用公式（1）代替et，結(jié)果是：
公式（2）變化為：
有三種應力被應用于稱重傳感器的設(shè)計中，即拉伸與壓縮應力，彎曲應力和剪切應力。
利用拉伸與壓縮應力的稱重傳感器
利用拉伸應力與壓縮應力的多為商業(yè)稱重傳感器，它是利用單一載荷產(chǎn)生的應力，代替被稱物體產(chǎn)生的應力。由于有較小的縱剖面設(shè)計，能為所給的受力狀態(tài)提供較大的輸出。
在航空工業(yè)中，通常用圓柱形彈性體作稱重傳感器（處于拉伸應力或壓縮應力的圓柱）是比較方便的。最好是將圓柱的兩端固定或設(shè)計成雙球面，若是作不到這一點，就把應變計粘貼在附加彎矩最小區(qū)域，那里的橫截面存在有規(guī)律的變化，并產(chǎn)生最小的彎曲應力。
注意：1、應變計1、4和2、3為單軸結(jié)構(gòu)或90°應變花，在圓筒表面相隔180°粘貼。
2、在載荷P方向，應變計1、3受拉伸，應變計2、4受壓縮。
圖2 電阻應變計位置圖
2、在載荷P方向，應變計1、3受拉伸，應變計2、4受壓縮。
圖2 電阻應變計位置圖
圖2是圓柱式稱重傳感器的一個例子，有關(guān)計算圓柱應力S的傳統(tǒng)公式如下：
式中：P—軸向載荷。
A—圓柱橫截面面積（圖2的A-A部分）。
S—拉伸或壓縮應力。
既然這是一個單軸向載荷的圓柱，就可應用虎克定律，其應力、應變可用如下公式計算：
式中：Em—彈性模量。
e1—1號應變計的軸向應變值。
圓柱式稱重傳感器電橋的輸出應由公式（5）計算。
既然圓柱的尺寸大小是固定的，正如下面例子所給出的：假設(shè)一個額定載荷為P=2500Ib（磅）的鋼制彈性體，彈性模量Em=10.6×106psi（磅/英寸2），圓筒的外徑為2.0英寸，內(nèi)徑為1.75英寸。通過計算其橫截面面積為A=0.736英寸2。
為通過公式（3）和（4）確定N，e1=e3，e2=e4=μe1，式中μ為泊松比。代入公式（3）和（4），其結(jié)果為：
N=1+μ+1+μ=2（1+μ）
由于鋼的μ值為0.32，所以N=2.64。
利用公式（7）計算應力，即
通過公式（8）確定應變計1的應變值，即
通常寫為e1=320microinches/inch（微英寸/英寸）。
如果應變計靈敏系數(shù)（由制造商提供）為2.0，代入公式（5）中，計算結(jié)果如下：
這說明如果給電橋施加Ei=10V激勵電壓，一個2500磅的載荷施加在稱重傳感器上時，輸出的變化應為E0=4.22mv。一個典型的商用稱重傳感器的額定輸出為從2.00到3.00mv/v或從20到30mv（施加10v激勵電壓時），所以0.422mv/v是一個較低的輸出。
若要增大這個例子中圓筒式稱重傳感器的輸出，我們可以作很多工作。
（A）為求所需要的橫截面面積A，假定計算靈敏度為2.0mv/v，就必須選擇能形成這一面積的外徑?？稍趫A柱彈性體表面粘貼應變計并使其受載進行驗證，直到得出滿足要求的直徑為止。如果這種方法不行，可以試驗下一個方法。
（B）電橋輸出電壓E0與輸入電壓Ei成正比，輸入電壓受材料，電橋電阻，應變計尺寸等限制（見參考文獻[3]）。假定施加在電橋上的最大推薦電壓為10V，要想應用更高的電壓，可通過加大電橋電阻的方法，即采用更大電阻的應變計。圖2展示的4個應變計，其中兩個應變計在0°位置上（或粘貼一個90°的應變花），另兩個應變計在180°位置上（或粘貼第2個應變花）。應用8個應變計的電橋，在圓柱表面沿0°，90°，180°和270°粘貼90°的應變花，電橋各臂電阻會增大一倍。這時輸入電壓可增大，但是由于推薦應用于電橋的電壓與電阻的平方根成比例，所以這只能增加輸出值的1.41倍。另外，如果應變計的柵長和柵寬分別由1/8英寸增大到1/4英寸時，應變計的面積便增加了4倍，而輸出增加一倍?，F(xiàn)在總輸出增加了（1.41×2）或2.82倍，電橋電壓會增加到28.2V，輸出由11.9mv取代了4.22mv。
柱式稱重傳感器的誤差來源
一個泊松電橋（兩個應變計測量主應變，另兩個應變計測量由于泊松比影響而產(chǎn)生的應變）是固有的非線性電橋。對于一個靈敏度為2.0mv/v的稱重傳感器，這種固有的非線性大約為0.10%。電橋的非線性可以被另一個非線性部分所抵消一些。引起另一個非線性的原因是由于泊松比使得柱式彈性體橫截面面積增加或減少。例如，當稱重傳感器承受壓向載荷時，橫截面面積增加，使壓縮應力減?。划敵惺芾蜉d荷時，就是相反的情況。對于一個靈敏度為2.0mv/v的稱重傳感器，由于截面積變化引起的非線性誤差大約為0.05%，所以總的非性誤差為0.10%～0.05%或者0.05%。這是非常小的通常可以忽略不計，但是在稱重傳感器檢測數(shù)椐中，這是應該被檢測的誤差。精密的商用稱重傳感器應利用附加的半導體應變計，此半導體應變計被粘貼在彈性體上，并串聯(lián)在電橋電路的供橋端來補償非線性。
注意圖2圓柱式彈性體上應變計的安排，全部應變計被粘貼在同一個平面上，例如縱向應變計1和3為0°和180°，橫向應變計2和4為90°和270°，且所有應變計的中心線處于一個橫截面的水平線上。圓柱上的應變計如圖2安排，有兩個原因：
（A）彎曲應力是誤差的來源之一，必須使之最小化。理論上，當應變計如圖1和2粘貼連線時（如測量拉伸與壓縮應力），彎曲應力被消除。因為并不存在準確完美的貼片，建議采取其它方法使得彎曲應力產(chǎn)生的誤差盡可能接近于零。在圓柱上彎曲力矩的方向通常是可以確定的，應變計應粘貼在圓柱彎曲力矩最小處，且在中軸線上（見圖2），那里的彎曲應力理論上為零。
（B）如果圓柱大且應變計在同一個平面間隔90°粘貼，圓柱周圍的任何溫度變化都會導致信號漂移。所以電橋相鄰兩臂的應變計應盡量靠近粘貼，從而減少溫度誤差，這也是利用90°應變花的原因之一。
彎曲型稱重傳感器
設(shè)計過程與柱式結(jié)構(gòu)有所不同，概述如下：
（A）由公式（3）和（4）確定有效應變N，通常是用公式（4）。
（B）為提供所需要的輸出，由公式（6）確定要求的應變。
（C）通過公式（9），由應變算應力。
（D）根據(jù)載荷與尺寸大小建立應力公式。
（E）為計算所需尺寸大小，用（C）中計算出的應力替代（D）中產(chǎn)生的應力。
這是為滿足所需要的輸出，求得稱重傳感器尺寸大小的最普通方法。另一方面，如果已給出了尺寸大小，而輸出E0/Ei是所要求得的，那么應依照前面所介紹的圓柱式稱重傳感器計算過程，應用公式（3）和（4），之后是公式（7）和（8），最后是公式（5）得到輸出靈敏度E0/Ei。
圖3 在載荷P作用下標準的雙梁彎曲型稱重傳感器
圖3是在載荷P作用下一個典型的雙梁彎曲型稱重傳感器簡圖，為了看得清晰，去掉了外殼并加大了偏轉(zhuǎn)度。這種商用稱重傳感器用于測量較低的載荷，應變計粘貼位置如圖3所示。圖1所示的電橋電路仍然有效。
圖4 半根彎曲梁顯示的2片應變計位置圖
圖4是一個自由體的簡圖，粘貼有2個應變計的半根應變梁。通常梁的大多數(shù)尺寸是固定的，厚度h根據(jù)所需要的輸出進行計算。例如假定所需要的輸出靈敏度E0/Ei是3.0mv/v，首先計算出有效應變值，既然所有的應變計產(chǎn)生相等的應變，由公式（3）和（4）得出N=4。制造商提供的應變計靈敏系數(shù)為2.1，接下來為提供所需要的輸出，需要求出的應變e1可以通過公式（6）求得，即
又可寫為：
e1=1429微英寸/英寸。
彈性體材料為17—4PH不銹鋼，Em=29.1×106磅/英寸2。彎曲應力Sb由公式（6）計算出應變e1，代入公式（9）得出，即
Sb=e1Em=1429×10-6×29.1×106=41.580磅/英寸2。
在彎曲梁中求彎曲應力的傳統(tǒng)公式如下：
式中：M—應變計2在中心線上的彎矩。
C—從中性軸到梁表面的距離。
J—應變計所在截面的慣性矩。
圖5 彎曲梁上應變計到表面距離引起的誤差
圖4和圖5給出p=P/2，C=h/2，l=L/2，M=pl，對于矩形截面J=bh3/12，把這些值代入Sb=Mc/J中，得出Sb=6pl/bh2，h的計算公式為：
現(xiàn)以用數(shù)值表示的實例進行說明，假設(shè)截面尺寸與載荷如下：
L—應變計中心線之間的距離，L=1.00英寸，l=L/2=0.50英寸。
P—滿量程載荷，P=100磅，p=P/2=50磅。
b—梁的寬度，b=0.625英寸。
代入公式（10）得出的結(jié)果是：
彎曲型稱重傳感器的誤差來源
彎曲型稱重傳感器的誤差來源，其一是由于粘貼在梁上的應變計，所用的應變粘結(jié)劑和防護涂料增加了非常薄的應變梁的剛度。因為應變計、應變粘結(jié)劑和防護涂料不會完全具有彈性，這一附加剛度就會引起滯后和非線性誤差。根據(jù)估算如果鋼制彈性應變梁貼片處的厚度小于0.017英寸（0.43mm），鋁制彈性應變梁的厚度小于0.030英寸（0.76mm），就會出現(xiàn)小的誤差。其二如果不考慮被粘貼的應變計與表面的那段距離（見圖5中的d），那么當你計算非常薄的梁的厚度時就會出現(xiàn)誤差。因為應變計的應變值與其到中性軸的距離成正比，所以梁的表面應變es比應變計的應變e2小一些。為闡明這點，我們假定上面梁的厚度h為0.018英寸，為了求出所需要的輸出，仍需假定應變計的應變?yōu)?429微英寸/英寸，則重新計算的表面應變?yōu)椋?BR>
式中：C=h/2=0.018/2=0.009英寸。
d≈0.0015英寸。
被利用的新的應變?yōu)椋?BR>
為提供所需要的輸出計算應變的誤差，應該比這個例子大約高出17%，這只是計算梁厚度的一個估計的誤差，并不是一個操作性的誤差。
剪切型稱重傳感器
當載荷超過了彎曲型稱重傳感器的要求時，應設(shè)計成剪切型結(jié)構(gòu)，但是，當載荷超過200000磅（90718kg）時，建議采用柱式結(jié)構(gòu)。
剪切應變是一個角應變，不能像軸向應變那樣進行測量，只能間接測量。莫爾圓有關(guān)純剪切應力情況及應變計粘貼簡圖如圖6所示。
圖6 莫爾圓及應變計分布簡圖
莫爾圓表明切應力的最大值與處于拉伸狀態(tài)的主應力的最大值是相等的，并且與梁的中性軸成45°方向。應變計是測量主應力產(chǎn)生的應變，因此應變計也同樣應與中性軸成45°，如圖6所示。此圖同樣表明一個沒有載荷作用的平面部分正方形單元，當有載荷作用時正方形會變成菱形，使得一個應變計處于拉伸狀態(tài)，而另一個應變計處于壓縮狀態(tài)。請注意應力是雙軸的，其處于拉伸狀態(tài)的主應力的軸向應變值不但與St成正比，而且隨泊松比μSc而增加：
式中：e1—應變計1的測量應變。
—單軸向范圍內(nèi)的基準應變，=S/Em。μ—泊松比。
電橋各橋臂上的應變計承受同樣的應變值，所以利用電橋總應變公式，可寫為：
因為
所以 N=4（1+μ）
泊斯特（Purest）會議有學者認為這是不符合規(guī)則的，因為e1｀并沒有真實的存在，但是它確實提供了正確的答案，并在N值計算中有它是很方便的。用于計算所要求的可以提供所需輸出的應變算公式（6）可變?yōu)椋?BR>
計算出所要求的單軸應變e1｀后，應力通過公式（9）獲得，即
能否準確計算出稱重傳感器上的應力，因切應力的種類和彈性體的結(jié)構(gòu)不同而產(chǎn)生很大的差異。例如，一個承受純剪切應力狀態(tài)的扭轉(zhuǎn)軸，其切應力計算可由下面典型的公式得出：
式中：Ss—切應力（與主應力的最大值相等）。
T—軸上的扭矩。
r—軸的半徑。
J—橫截面極慣性矩。
另一方面，直接利用剪切載荷準確的確定稱重傳感器上的切應力是極為困難的。對于剪切型軸銷式稱重傳感器更是如此，下面列舉了一些不夠精確的原因：
（A）應變計是通過其柵長測量的是應變區(qū)的平均應變。如果在應變區(qū)內(nèi)切應力的變化曲線非常陡，且應變計尺寸非常大，所測量的應變值就會比峰值小。
（B）最大切應力只用了直接作用于其上的最大剪切載荷的一部分。公式假設(shè)剪切載荷在一個已知的面積內(nèi)，從底部到頂部較均勻分布，且切應力最大值均勻分布在中性軸上。
（C）稱重傳感器上的載荷分布還應與安裝接頭的影響相吻合，如剪切型軸銷式稱重傳感器，其載荷分布取決于軸銷與安裝接頭兩者之間的公差，所受載荷由于安裝間隙不同而異。
我們將討論三種切應力稱重傳感器。準確計算為保證所需輸出的彈性體尺寸，與以前所用的程序完全一樣。首先進行粗略計算，最后給出準確結(jié)果。切應力稱重傳感器尺寸大小的計算準確率，不如圓柱、彎曲和扭轉(zhuǎn)型稱重傳感器。
工字形截面切應力稱重傳感器
最普通的用于計算切應力的公式為：
式中：Sa—平均切應力。
V—剪切載荷。
A—受剪部分的截面積。
這個公式可以用來計算破壞載荷，但不能給出彈性體粘貼應變計處中性軸上切應力的最大值。對于切應力的最大值的計算公式，應隨著受剪截面的形狀不同而變化。
圖7 S形剪切式稱重傳感器
圖7是另一個S形稱重傳感器簡圖，除了利用剪切應力代替彎曲應力外，其它均無變化。圖中A-A截面對于兩個軸都是對稱的，從側(cè)面角度看呈現(xiàn)兩倍的尺寸關(guān)系。應變計粘貼在工字形截面的腹板上，其截面尺寸為b、c、d、f和t。根據(jù)上述給定的尺寸，按計算程序計算出腹板的厚度t。
下列中性軸切應力Ss最大值計算公式，引自參考文獻[1]第91頁公式（2），即
式中：V—剪力。
t—腹板厚度。
A′—中性軸以上橫截面面積。
Z′—從中性軸到面積A′形心的距離。
A′Z′=A1Z1+A2Z2
A1Z1—中性軸以上翼緣面積乘以中性軸到翼緣形心的距離，依照圖7，A1Z1＝fb（d+f/2）。
A2Z2—中性軸以上腹板的面積乘以中性軸到腹板形心的距離，A2Z2＝td×（d／2）。
J—中性軸以上截面的慣性矩
例如圖7中的稱重傳感器，假設(shè)所需的輸出是3.0mv/v，彈性體由17—4PH不銹鋼制成，Em=29.1×106磅/英寸2，μ=0.29，利用公式（6）、（9）及N=4（1+μ），求得應力為33800磅/英寸2，其中E0/Ei=3.0mv/m，Gf=2.0，假設(shè)所給的載荷及尺寸如下：
P=V=15000磅，d=0.80英寸，f=0.20英寸，c=1.00英寸，b=1.50英寸。把這些數(shù)值代入公式（14），即可得到一個有關(guān)t的二次方程式，解此方程求得t=0.273英寸。
為確定強度，還需要其它尺寸大小，例如確定承受載荷螺紋的允許直徑，符合螺紋外徑要求的寬度b一定要足夠大等。圖中A-A部分的箭頭指向是高彎曲應力與拉伸應力合二為一的結(jié)合面，必須具有足夠大的強度才能安全的承受載荷。粘貼有應變計的腹板兩側(cè)的盲孔部分可以是方形、矩形，也可以是圓形使得加工簡單。據(jù)估計稱重傳感器任意部分的應力都比應變計處的應力小。
工字形截面切應力稱重傳感器的誤差來源
依照慣例，當計算工字梁的應力時，假設(shè)腹板承受所有載荷。如果我們采用這種方法，那么將利用平均應力Sα=V/A的計算公式來確定腹板的厚度。采用上面的例子，承受載荷的腹板截面面積是A=2ct，又因為A=V/Sα，則腹板厚度t計算如下：
此值比通過公式（14）得出的t值小18%，盡管公式（14）略顯繁瑣，但對于不同的截面形狀，它的計算是比較準確的。
輪輻式稱重傳感器
圖8是一個輪輻式稱重傳感器簡圖，這種設(shè)計是為了生產(chǎn)高準確度的稱重傳感器。
圖8 輪輻式稱重傳感器
粘貼應變計的輪輻是一個矩形截面梁，通常高度h比寬度b長一些。把公式（14）應用于矩形截面見參考文獻[1]第92頁公式（3），得出切應力計算公式如下：
式中：V—剪力，V=P/4。
a—形狀系數(shù)。
A—矩形截面的面積，A=bh。
輪輻式稱重傳感器的誤差來源
參考文獻[1]指出，對于矩形截面其形狀系數(shù)a=3/2，但是如前所述最終的輸出是幾個因素共同作用形成的。比較截面的高度，及截面的寬度與高度比，我的經(jīng)驗是a隨著應變計的尺寸變化而變化?，F(xiàn)舉例說明，一個200000磅的稱重傳感器，截面高度h為2.386英寸，寬度b為1.172英寸。這么大的高度解決了通過應變計基長測量平均應變的問題，因為應變計基長只有1/8英寸。形狀系數(shù)a為1.25，并不是參考文獻[1]中所述的1.50，表1給出了a的數(shù)值。
表1 形狀系數(shù)a值
建議設(shè)計者形狀系數(shù)最好選取1.25，組裝一臺稱重傳感器樣件，校準所需要的截面面積。一旦在樣件上建立了準確的計算模型，調(diào)整截面的寬度，就可以求得所需要的輸出值，然后再組裝一臺稱重傳感器樣件，并進行校核以確定最終輸出。
圖8給出了8片應變計的情況，應變計1A和1B串聯(lián)，作為圖1中的應變計1；應變計2A和2B串聯(lián)作為圖1中的應變計2，如此等等，這種聯(lián)結(jié)組橋方式提供了最精確的稱重傳感器。但是采用4片應變計的稱重傳感器價格會低一些，只是準確度為中等水平。4片應變計可粘貼在圖8中1A、1B、3A和3B的位置上。購買的應變計應具有與中性軸成45°或135°的敏感柵，選擇一個具有適當方向敏感柵的應變計是非常重要的。參考圖6確定應變計的粘貼位置，使2片應變計處于拉伸狀態(tài)，而另外2片應變計處于壓縮狀態(tài)。
較大量程的輪輻式稱重傳感器，例如容量超過200000磅（90718kg）時，會出現(xiàn)較大的滯后誤差。這已形成了理論，即滯后誤差是在泊松比作用下，在輪輻受載過程中輪箍底部產(chǎn)生向外移動的力，從而形成力矩。由于存在摩擦力，輪箍移出時的力矩與移回時的力矩是不同的，因而產(chǎn)生滯后。處于壓縮狀態(tài)的大型柱式稱重傳感器不會出現(xiàn)滯后現(xiàn)象，所以，既然大多數(shù)用戶都希望輪輻式稱重傳感器的設(shè)計會提供精確的結(jié)果，那么輪輻式稱重傳感器的最大容量最好限定為200000磅之內(nèi)。
軸銷剪切式稱重傳感器
圖9是在一個吊環(huán)內(nèi)裝有軸銷剪切式稱重傳感器的簡圖，這個組合表明切應力稱重傳感器應用的多樣性和廣泛性。本文展示的這臺軸銷剪切式稱重傳感器取自生產(chǎn)廠家的產(chǎn)品目錄，見參考文獻[4]。
1．承載卷筒，2. 掛鉤或吊鏈，3. U形吊環(huán)，
4. 剪切軸銷，5. 凹陷部分連線插頭
圖9 軸銷剪切式稱重傳感器
應變計粘貼在軸銷上的直徑d為1/8英寸到1/2英寸的圓孔內(nèi)，并處于有凹槽的位置上。應變計的粘貼位置必須準確，這項工作應該由一名熟練的機械師利用特殊的工具完成。
參考文獻[5]詳盡的討論了軸銷剪切式稱重傳感器，如果對制造類似的稱重傳感器有興趣，建議讀者重新讀一下那篇文章。計算軸銷上切應力的公式選自參考文獻[1]，在參考文獻[5]中也給出了計算公式。此作者的研究展示了初始原型的真實應力，它與計算公式有著非常大的差異。例如需要為所計算的彈性體提供1.0mv/v的輸出時，那么直徑小的軸銷切應力大約是11500磅/英寸2，而要求彈性體提供相同的輸出時，直徑大的軸銷切應力卻是7500磅/英寸2。稱重傳感器的輸出受很多因素影響，比如說穿過中心孔的直徑d，凹槽的直徑D，軸銷與支撐之間的間隙，支撐的硬度，應變計的尺寸等?？梢员焕糜嬎爿S銷剪切式稱重傳感器輸出的最好公式是（15）式，其中形狀系數(shù)a在1.5到2.0之間變化。
表1列舉了經(jīng)試驗得出的a的一些數(shù)值，凹槽直徑D從1.0到3.0之間變化，軸銷是鋼制的，稱重傳感器的輸出靈敏度為2.0mv/v，而中間孔的直徑d為0.50英寸。
軸銷剪切式稱重傳感器的誤差來源及設(shè)計建議
參考文獻[5]指出“當幾何形狀沒有問題時，傳統(tǒng)的稱重傳感器要優(yōu)于軸銷剪切式稱重傳感器”。軸銷剪切式稱重傳感器在具體應用中，有很多誤差來源，歸納起來主要有：
（A）為了具有最好的重復性和最小的滯后誤差，軸銷剪切式稱重傳感器的輸出靈敏度應設(shè)計為1.00mv/v，所以當軸銷受載時，不會因橢圓變形在軸銷中引起較大的彎曲應力，這就增加了安全載荷和疲勞壽命。
（B）軸銷的凹槽必須是應變計敏感柵寬度的2倍。但是，如果凹槽過寬，當軸銷受載時就會產(chǎn)生較大的彎曲應力而引起誤差，同時也降低了安全載荷。參考文獻[5]提供了有關(guān)凹槽寬度的設(shè)計建議。
（C）軸銷與支撐之間的間隙應盡量小一些，以減少彎曲變形。當軸銷的直徑為1.0英寸時，最大間隙為0.004英寸；當直徑為4.0英寸時，最大間隙為0.007英寸。如圖9中吊環(huán)式稱重傳感器的情況，要求吊環(huán)為軸銷提供緊密的配合。
（D）支撐應具有足夠的剛度來抵抗彎曲變形，越剛硬越好。測試與校準軸銷時，應該與實際安裝使用時是同一個支撐。
（E）在使用壽命內(nèi)，如果軸銷需要承受沖擊載荷或許多循環(huán)載荷時，凹槽就需要有足夠大的半徑。另外，如果軸銷要在很冷的天氣（0°以下）工作并承受沖擊載荷時，就不要選用較脆的鋼種如17-4PH來制造軸銷。
（F）與輪輻式稱重傳感器相似，大型軸銷剪切式稱重傳感器（200000磅或更高）會出現(xiàn)滯后誤差。一個二百萬磅的軸銷剪切式稱重傳感器的滯后誤差大約是1.0%到3.0%，為了減?。ú⒉皇窍┻@一誤差，所有大型切應力稱重傳感器都應該將輸出靈敏度限制在1.00mv/v之內(nèi)。
（G）如果公式（15）被應用于實心軸銷剪切式稱重傳感器時，形狀系數(shù)a是一個常數(shù)4/3或是1.33，這個公式假設(shè)最大切應力均勻分布在軸銷的中性軸上。
（H）由四只稱重傳感器組裝的承載器，每個稱重傳感器必須具有相同的輸出靈敏度。如果一只稱重傳感器的輸出靈敏度是3.0mv/v其它幾只的輸出靈敏度也應該是3.0mv/v。如果不具備這一特點，任何一個偏于承載器的載荷都會得到不同的測量結(jié)果。一個軸銷就是一臺電子衡器，由兩個稱重傳感器并聯(lián)組成（每個槽內(nèi)有一只稱重傳感器），如果輸出靈敏度不同，測量結(jié)果就會隨著偏心載荷的不同而變化。圖8中的中心通孔就是用來把外載荷集中于稱重傳感器中心而設(shè)計的。
結(jié)語
本篇論文是基于對稱重傳感器設(shè)計者能有所幫助而寫的，它提供了一些公式，這些公式可用于計算稱重傳感器上的某個尺寸的大小，并提供所需要的其它計算結(jié)果。它同樣介紹了用于計算圓柱式結(jié)構(gòu)稱重傳感器輸出的公式（通常被用于航空工業(yè)）。
本篇論文全面介紹了稱重傳感器的誤差來源和設(shè)計建議。但是應該強調(diào)的是影響稱重傳感器第一個樣件輸出的尺寸計算誤差，應該在生產(chǎn)第二個樣件前對這一尺寸進行更正。
本篇論文中的電橋電路（圖1）并沒有串入溫度補償電阻。例如應變計的靈敏系數(shù)、絕大多數(shù)材料的彈性模量都隨著溫度的變化而變化，所以稱重傳感器的輸出靈敏度也隨著變化，這個誤差在商用稱重傳感器中通常是被補償?shù)?。在商用稱重傳感器中電橋串聯(lián)了溫度補償電阻，當溫度變化時，補償電阻會進行補償。如果稱重傳感器串入了靈敏度溫度補償電阻，對于一個給定的輸入電壓，輸出一定是一個符合要求的標準值。考慮到補償電阻將減少輸出值，所以設(shè)計的電橋輸出值一定要比標準值高。表2是本篇論文所介紹公式的總結(jié)。
表2 稱重傳感器計算公式
注釋1、在全部公式中假設(shè)應力是單向的并且符合虎克定律，或者是應用公式將應力轉(zhuǎn)換為應變或是相反將應變轉(zhuǎn)換為應力，即S=eEm或e=S/Em。
注釋2、為了得到需要求得的尺寸重新整理了公式。
注釋3、用在公式（5）中代入N的方法求得輸出值。
參考文獻
〔1〕Roark,Raymond J.and Young,Warren C.,bbbbulas for Stress and Strain,Fifth edition，McGraw-Hill，1975.（羅克•雷蒙德•杰和楊格•沃倫•希：應力與應變公式，第五版，麥克格來－希爾出版，1975年。）
〔2〕（a）The technical staff of Measurements Group Inc., Strain Gage Based Transducers-Their
Design and Construction, P.O.Box 27777, Raleigh, North Carolina,27611,（919）365-3800,1988.
（b）T-Design （Computer Software ），B.L.H.Electronics, 75Shawmut Rd. Canton, MA02021，（617） 821-2000.［（a）測量技術(shù)人員集團公司，應變式傳感器的結(jié)構(gòu)與計算。（b）Ｔ－程序（計算機軟件）。］
〔3〕Measurements Group Technical Note TN-502，Optimizing Strain Gage Excitation Levels（計量集團技術(shù)注釋TN-502，選擇最佳應變值。）
〔4〕Metrox，Inc，Load Pins，Drawing no. LP102-0000，1991 catalog.（梅特羅伊公司，軸銷式稱重，1991年目錄第LP102-0000號圖。）
〔5〕Yorgiadis，Alexander，The Shear Pin Force Transducer，Instruments and Control Magazine，October 1986.（約吉艾迪斯，亞歷山大，軸銷剪切式力傳感器，儀器與控制雜志，1986年10月）。
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